2018年10月25日晚7点，中国科学院大学科学前沿进展名家系列讲座III第165讲在玉泉路校区阶一5教室如期举行。本次讲座的主讲人是中国科学院数学与系统科学研究院研究员张立群老师，张老师为同学们带来了一场题为“分析中的一些思想与方法”的精彩数学讲座。这次讲座以微分方程为主线，分为三部分：矩阵与特征值、微分与极大值原理、积分与不等式。
讲座一开始，张老师介绍了什么是分析和分析产生的背景。数学中专门研究函数的领域称为分析，而它也曾被叫作无穷小量分析，产生于十七世纪后半叶。微积分是数学分析的一部分，也是数学分析的基础，而微积分也已经渗透到现代科学的各个领域。张老师介绍说，现代分析包括实分析、复分析、泛函分析、几何分析和随机分析等等。
首先，张老师介绍了矩阵、行列式与特征值。他先是从代数和分析这两种角度，解释了一些相关的基本概念，如矩阵、行列式、特征值与特征向量、约当标准型等等。关于特征值的问题，张老师介绍了矩阵特征值和标准型的应用，如常微分方程x’=Ax的通解问题；而推广到无穷维，通过研究线性算子的特征值，我们又可以求解偏微分方程。傅里叶曾经研究了这个问题，又引出了关于傅里叶分析的后续研究。
接下来，张老师向我们介绍了微分与极大值原理。他先解释了微分与导数的意义和导数的几何意义。张老师介绍了有关微分不等式与极大值原理的数个重要式子。我们知道，极大值原理在许多研究问题中发挥着重要作用，如Bernstein型估计问题、丘成桐先生的梯度估计、特征值估计、热方程估计和Ricci流Harnack不等式等等。
讲座第三部分，张老师介绍了有关积分的问题，而积分是一种特殊的求和。数学上定义的积分包括Riemann积分、Lebesgue积分等等，牛顿-莱布尼兹公式又给出了积分和微分的关系，而它在高维下的推广，即散度定理，又给了我们许多新鲜的结论。积分的不等式估计同样非常重要，因此，张老师介绍了诸多不等式，如等周不等式、Poincare不等式、索伯列夫不等式、平均值不等式和能量不等式等。我们也可以用积分将一般函数推广为Schwartz广义函数，从而可以解决更多的问题。
最后，张老师和同学们亲切交流，同学们也积极提问，张老师帮助同学解释疑问。讲座结束，同学们爆发出热烈的掌声。（文/姜小平 图/伊拉木江 作者系国科大记者团成员）
张老师为同学们做讲座
讲座内容简介：
我们从分析的角度出发，主要介绍些简单的方程及其求解方法，涉及矩阵特征值及其推广与应用、极大值原理以及应用、积分与不等式等。
延伸阅读：
“科学前沿进展名家系列讲座”创办于2014年9月，是中国科学院大学为本科生开设的必修课程，同时欢迎研究生与教职工参加，由中国科学院大学本科部主办，讲座召集人为徐涛院士。该课程按照数学、物理、化学等13个专业，邀请相关科学领域的院士等知名专家开展专题讲座。通过讲述科学故事、介绍相关学科方向的科学前沿进展，让学生在本科阶段了解不同学科的科研方向与主要进展，拓宽学生的学术视野，为他们最终选择学科专业与专业方向提供丰富的判断依据。
