2018年4月12日晚7点，中科院数学与系统科学研究院张志涛研究员在玉泉路校区阶一5教室为同学们带来了科学前沿进展名家系列讲座第127讲，题为：非线性泛函分析理论与应用——从“山路定理”谈起。张志涛老师本学期在国科大教授实分析课程，因此，在场的很多同学在之前便对张老师的讲授风格有了一定的了解。
张老师开门见“山”，通过一个爬山的问题引入了一个泛函分析中的定理——Mountain Pass Theorem,这条定理正是数学家们在对爬山问题的抽象研究中提炼出来的，而关于定理的内容，我们可以通俗地理解为：在爬山过程中必然会遇到鞍点。一开始的这一个例子，就已展现出了了泛函分析的强大威力以及它与实际问题的紧密关系——许多实际问题正是通过泛函分析才得以解决。接下来张老师便便向我们介绍了这一门学科的发展历史。从与其他数学课程的关系来看，我们有：数学分析—＞实分析—＞泛函分析—＞非线性泛函分析，可见这门学科正是古典分析学精细化、无穷维化与非线性化的过程。张老师随后指出，目前在这一领域，主要用三种方法来研究问题，分别是变分法、拓扑方法和半序方法，并系统讲述了这三种方法。
张老师从变分法讲起，变分法是处理以函数为变量的映射的方法，在物理学中有广泛且极为重要的应用，在纯粹数学中也有深远的影响，在微分几何、辛几何、极小曲面等众多纯粹数学分支中扮演重要的角色。变分法源起于雅各布·伯努利提出的最速降线问题，牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利等人都给出了解答，此后众多著名数学家都对其发展作出了巨大贡献，值得一提的是，正是现代分析学的奠基人——魏尔斯特拉斯，赋予了它坚实的数学基础。在变分法中，欧拉—拉格朗日方程处于核心地位，它是泛函有极值的必要条件。理论力学中对拉格朗日方程的推导用的正是这一手法。
张老师总结变分法部分时说道：“现代变分法的核心思想正是把例如求解偏微分方程一系列数学问题转化为求解泛函极值问题。”
拓扑方法也是张老师的讲座中最精彩的部分之一。从Brouwer不动点定理出发，数学家们定义了许多几何、拓扑的概念，并揭示了这些概念间的联系。事实上，泛函分析中定义了各种各样的空间， 而这些空间上的分析势必受空间本身拓扑性质的影响。再者，函数天然地就是定义在流形上的，故从流形的几何拓扑性质入手来研究其上的函数是再自然不过的想法。讲座期间，张老师也介绍了这些拓扑方法在经济学中的应用，最令同学们感到惊奇的是：大名鼎鼎的纳什均衡也与此有关。
由于时间关系，张老师在讲述半序方法时仅仅略谈，一笔带过。但也仅仅是张老师脱口而出的几个在物理学和生物学中利用半序方法的例子，便已让同学们对其惊人威力有了惊鸿一瞥。
讲座最后，张老师也介绍了自己在这一领域的一些工作，让在座的同学们对张老师本人也有了进一步的了解。最终，讲座在同学们的掌声中顺利结束。（文/王华阳 图/王华阳 来源 国科大记者团）
张志涛老师给同学们带来精彩讲座
延伸阅读
“科学前沿进展名家系列讲座”创办于2014年9月，是中国科学院大学为本科生开设的必修课程，同时欢迎研究生与教职工参加，由中国科学院大学本科部主办，讲座召集人为徐涛院士。该课程按照数学、物理、化学、生物、材料、计算机、天文、电子信息工程、环境九个专业，邀请相关科学领域的院士等知名专家开展专题讲座。通过讲述科学故事、介绍相关学科方向的科学前沿进展，让学生在本科阶段了解不同学科的科研方向与主要进展，拓宽学生的学术视野，为他们最终选择学科专业与专业方向提供丰富的判断依据。
